10 Zusammenhänge zwischen zwei metrischen Variablen

📢 Zielsetzung dieser Einheit

In dieser Einheit wollen wir uns den Zusammenhängen zwischen metrischen Variablen widmen. Dazu werden wir …

• mittels eines Scatterplots (aka Streudiagramm) den Zusammenhang zwischen zwei Variablen graphisch erkunden;
• mittels geeigneter Korrelationsmaße den Zusammenhang zwischen zwei Variablen numerisch bestimmen;
• und schließlich alternativ dazu den Zusammenhang zwischen zwei Variablen mittels einer Regression messen.

tl;dr: Her mit dem Code!

10.1 Die Ausgangslage

Um herauszufinden, ob zwischen zwei metrischen Variablen ein Zusammenhang besteht, nutzen wir die aus Einheit 9.1 bekannten Beispieldaten der Österreichischen Agentur für Gesundheit und Ernährungssicherheit AGE zu COVID-19 Fällen in den politischen Bezirken Österreich.

👉 Anmerkung: Wir gehen in dieser Einheit von folgender Verzeichnisstruktur aus:

**Projektfolder**
| skript_1.R
| ...
| skript_n.R    
+-- data
|     | datensatz_1.xyz
|     | ...
|     | datensatz_n.xyz
+-- output

Inhaltlich wollen wir uns mit folgender Frage beschäftigen 🤔:

Besteht zwischen der Anzahl an COVID-19 Erkrankten und der an/mit COVID-19 Verstorbenen auf Ebene der Bezirke ein Zusammenhang?

Dieser Frage wollen wir uns zunächst über einen Scatterplot annähern und danach mögliche Zusammenhänge numerisch beschreiben.

10.2 Datenimport und -aufbereitung

Bevor wir uns der Erkundung des möglichen Zusammenhangs widmen können, müssen wir zunächst

• die AGES-Rohdaten importieren
• eine Normierung der Daten vornehmen (Variablen “…_100k”)
• und die Bundeslandzugehörigkeit der Bezirke (Variable “bula”) ermitteln.

Un damit kommen wir zu Folgendem:

library(tidyverse)
library(scales)
library(ggrepel)

agesRohdaten <- read.csv2("data/agesRohdaten_25-05-21.csv", encoding = "UTF-8") %>%
  as_tibble()
covidCases <- agesRohdaten %>%
  mutate(Anzahl_100k = Anzahl/(AnzEinwohner/100000),
         AnzahlTot_100k = AnzahlTot/(AnzEinwohner/100000),
         Anzahl7Tage_100k = AnzahlFaelle7Tage/(AnzEinwohner/100000))
covidCases <- covidCases %>%
  mutate(bula = factor(floor(GKZ/100),
                       levels = c(1:9),
                       labels = c("Burgenland",
                                  "Kärnten",
                                  "Niederösterreich",
                                  "Oberösterreich",
                                  "Salzburg",
                                  "Steiermark",
                                  "Tirol",
                                  "Vorarlberg",
                                  "Wien")
                       )
         )

10.3 Den Zusammenhang graphisch erkunden

Der einfachste Weg einem möglichen Zusammenhang zwischen der Anzahl der COVID-19 Erkrankungen und Todesfälle je 100.000 Einwohnern nachzugehen, ist ein Scatterplot (aka “Streudiagramm”):

ggplot(covidCases, aes(x = Anzahl_100k, y = AnzahlTot_100k)) +
  geom_point(size = 3, shape=21, fill = "red") +
  ggrepel::geom_text_repel(aes(label = Bezirk),
                size = 3,
                color = "gray",
                box.padding = 1) +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".", 
                                                  decimal.mark = ",")) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 45, hjust = 1)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       color = "Bundesland")

Die nach rechts oben strebende Punktwolke spricht für einen positiven Zusammenhang (= (Korrelation)[https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation]) zwischen den den COVID-19 Erkrankungen und Todesfällen (auf Ebene der Bezirke) in Österreich. Ob wir diesen Zusammenhang auch in den einzelnen Bundesländern beobachten können, zeigt uns eine bundeslandspezifische Auswertung:

ggplot(covidCases, aes(x = Anzahl_100k, y = AnzahlTot_100k)) +
  geom_point(aes(fill = bula), shape=21, size = 3) +
  ggrepel::geom_text_repel(aes(label = Bezirk),
                size = 3,
                color = "gray",
                box.padding = 1) +  
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".", 
                                                  decimal.mark = ",")) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       fill = "Bundesland")

Na ja: Die Lesbarkeit des erzeugten Scatterplots erscheint ausbaufähig 🧐. Eine Möglichkeit dazu:

ggplot(covidCases, aes(x = Anzahl_100k, y = AnzahlTot_100k)) +
  geom_point(aes(fill = bula), shape=21, size = 2.5) +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".", 
                                                  decimal.mark = ",")) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 90, vjust = 0.5)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       fill = "Bundesland") +
  facet_wrap(~bula)

In dieser bundeslandspezifischen Betrachtung erkennen wir rasch, dass regional durchwegs unterschiedlich ausgeprägte Zusammenhänge zwischen den COVID-19 Erkrankungen und Todesfällen vorliegen: Während in Vorarlberg dieser Zusammenhang fast nicht erkennbar ist, ist dieser Zusammenhang im Burgenland deutlich vorhanden.

10.4 Den Zusammenhang numerisch abbilden

Wir können den Zusammenhang zwischen zwei metrischen Variablen jedoch nicht nur graphisch erschließen. Anhand des Korrelationskoeffizienten nach Pearson können wir Zusammenhänge auch numerisch fassen. Wie dieser ermittelt wird, wollen wir uns anhand dieser Folien ansehen:

Die Slides als PDF

10.4.1 Überprüfung der Normalverteilung

Um beurteilen zu können, ob unsere beiden Variablen von Interesse normalverteilt sind, werfen wir zunächst einen Blick auf die Q-Q-Plots:

library(ggpubr)
q1 <- ggplot(covidCases, aes(sample = Anzahl_100k)) +
geom_qq(color = "red") +
geom_qq_line() +
labs(y = "Anzahl_100k")
q2 <- ggplot(covidCases, aes(sample = AnzahlTot_100k)) +
geom_qq(color = "red") +
geom_qq_line() +
labs(y = "AnzahlTot_100k")
ggarrange(q1, q2,
          # labels = c("AnzahlTot_100k", "AnzahlTot_100k"),
          ncol = 2, nrow = 1)

Bei den an COVID Erkrankten sehen wir im oberen Wertspektrum klare Abweichungen von einer Normalverteilung, bei den an und mit COVID Verstorbenen sehen eine weitgehend gut Übereinstimmung mit einer Normalverteilung.

Um diese erste Annäherung zu erhärten, wollen wir noch für diese Variablen einen Shapiro-Wilk Test berechnen:

library(rstatix)

## 
## Attache Paket: 'rstatix'

## Das folgende Objekt ist maskiert 'package:janitor':
## 
##     make_clean_names

## Das folgende Objekt ist maskiert 'package:stats':
## 
##     filter

covidCases %>%
  summarise(across(c(Anzahl_100k,AnzahlTot_100k),
                   ~ rstatix::shapiro_test(.)$p.value))

## # A tibble: 1 x 2
##   Anzahl_100k AnzahlTot_100k
##         <dbl>          <dbl>
## 1     0.00468         0.0813

Und ja, nun sehen wir es in Zahlen: Während die Zahlen der an und mit COVID Verstorbenen normalverteilt sind, trifft dies auf die Infektionszahlen nicht zu.

🤔 Was heißt dies nun?

Da nur eine unserer beiden Variablen normalverteilt sind, wollen wir die Korrelation zwischen diesen beiden Variablen anhand der Rangkorrelation nach Spearman messen.

Wären beide unserer Variablen normalverteilt, könnten wir dazu auf den Korrelationskoeffizienten nach Pearson zurückgreifgen.

👉 Aus Übungsgründen werden wir beide Koeffizienten ermitteln, zur Beantwortung unserer Untersuchungsfrage jedoch die Rangkorrelation nach Spearman heranziehen.

10.4.2 Messung des Zusammenhangs zwischen COVID Erkrankungen und Todesfällen mittels Rangkorrelation

Um die Rangkorrelation nach Spearman zu berechnen:

cor.test(covidCases$Anzahl_100k, covidCases$AnzahlTot_100k, method = "spearman")

## 
##  Spearman's rank correlation rho
## 
## data:  covidCases$Anzahl_100k and covidCases$AnzahlTot_100k
## S = 95888, p-value = 0.002699
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
##       rho 
## 0.3072427

Dem Output entnehmen wir zwei wichtige Informationen:

• Zwischen den Erkrankungen und Todesfällen besteht ein mittlerer, positiver Zusammenhang (rho = 0.3072427). Diese Interpretation des Rangkorrelationskoeffizienten [-1, +1] orientiert sich an folgender Daumenregel ( vgl. Quatember (2007)):

  • 0 bis +/- 0,2: schwach positiver/negativer Zusammenhang;

  • +/- 0,2 bis 0,6: mittlerer positiver/negativer Zusammenhang;

  • +/- 0,6 bis 1: starker positiver/negativer Zusammenhang.

• Der angeführte p-Value (0.002699) signalisiert uns eine signifikante Korrelation zwischen den Erkrankten und Verstorbenen. Warum? Werfen wir einen Blick auf die dahinterliegenden Hypothesen:

  • H0: Der Korrelationskoeffizient unterscheidet sich nicht signifikant von 0.
  • H1: Der Korrelationskoeffizient unterscheidet sich signifikant von 0.

  Anhand unseres p-Values von 0.002699 - der die von uns maximal akzeptierte Irrtumswahrscheinlichkeit α von 5% (= 0,05) klar unterschreitet - verwerfen wir also die Nullhypothese.

10.4.3 Messung des Zusammenhangs zwischen COVID Erkrankungen und Todesfällen mittels des Korrelationskoeffizienten nach Pearson

⚡⚡⚡ Bitte nicht vergessen: Unsere Daten erfüllen nicht die Voraussetzungen zur Ermittlung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Die nachfolgende Berechnung dient der Vorstellung der dazu notwendigen Funktionen. ⚡⚡⚡

cor.test(covidCases$Anzahl_100k, covidCases$AnzahlTot_100k)

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  covidCases$Anzahl_100k and covidCases$AnzahlTot_100k
## t = 2.9382, df = 92, p-value = 0.004172
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.0959761 0.4677549
## sample estimates:
##       cor 
## 0.2928973

Trotz der nicht gegebenen Voraussetzungen, entspricht der Korrelationskoeffizient nach Pearson in unserem Fall fast dem Rangkorrelationskoeffizienten.

10.4.4 Ermittlung der bundeslandspezifischen Rangkorrelationskoeffizienten

Wie wir vorhin mittels des bundeslandspezifischen Scatterplots festgestellt haben, fallen die Zusammenhänge regional unterschiedlich aus. Diese Feststellung können wir nun auch numerisch untermauern indem wir die Korrelationskoeffizienten je Bundesland ermitteln. Vorab müssen wir jedoch noch das Bundesland Wien (GKZ = 900) ausfiltern, da für einen einfachen Datenpunkt (im Bundesland Wien gibt es eben nur den politischen Bezirk Wien) keine Korrelation ermittelt werden kann. Abschließend lassen wir uns nur signifikante Korrelationen mit einem p-Value ≦ 0,05 ausgeben:

r_values <- covidCases %>%
  filter(GKZ != 900) %>%
  group_by(bula) %>%
  summarise(r = cor(Anzahl_100k, AnzahlTot_100k, method = "spearman"))
p_values <- covidCases %>%
  filter(GKZ != 900) %>%
  group_by(bula) %>%
  summarise(p = cor.test(Anzahl_100k, AnzahlTot_100k, method = "spearman")$p.value)
r_values %>%
  inner_join(p_values, by = c("bula")) %>%
  filter(p <= 0.05) %>%
  arrange(-r) %>%
  knitr::kable(digits = 2)

bula	r	p
Salzburg	0.89	0.03
Burgenland	0.88	0.00
Oberösterreich	0.58	0.01
Niederösterreich	0.56	0.00

Mit diesen Daten können wir unsere Vermutungen aus der graphischen Interpretation bestätigen: Während wir in Vorarlberg keine signifikante Korrelation zwischen COVID-19 Erkrankungen und Todesfällen feststellen können, sehen wir in Salzburg und dem Burgenland eine solche stark ausgeprägt vorliegen.

📚 Exkurs: Wie immer gibt es viele Möglichkeiten in R, die Korrelationen zwischen Variablen (auch augeschlüsselt nach den Levels eines kategorialen Faktors) zu ermitteln. Beispielsweise bietet das Package GGally dazu die Möglichkeit für eine definierte Menge an Variablen paarweise Korrelationen zu ermitteln:

library(GGally)
covidCases %>%
  filter(GKZ != 900) %>%
  GGally::ggpairs(., columns = c("Anzahl_100k", "AnzahlTot_100k", "Anzahl7Tage_100k"),
          legend = 1,
          mapping = ggplot2::aes(color = bula),
          diag = list(continuous = wrap("densityDiag", alpha=0.5)),
          upper = list(continuous = wrap("cor", method = "spearman", size = 3))
          ) +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       fill = "Bundesland")

Eine Alternative um beispielsweise Scatterplots mit Korrelationskoeffizienten zu bereichern, bietet das ggpubr-Package:

library(ggpubr)
ggscatter(covidCases, x = "Anzahl_100k", y = "AnzahlTot_100k",
          color = "bula", palette = "jco",
          alpha = 0.3,
          size = 2.5) +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".",
                                                  decimal.mark = ",")) +
  facet_wrap(~bula) +
  stat_cor(aes(color = bula),
           method = "spearman",
           p.accuracy = 0.01, 
           r.accuracy = 0.01,
           size = 3,
           hjust = 1,
           label.x = 12500,
           label.y = 20) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 12),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 90, vjust = 0.5)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       color = "Bundesländer")

10.5 Lineare Regression als alternativer Zugang

Oftmals wird der Zusammenhang zweier metrischer Variablen mit Hilfe einer linearer Regression abgebildet. Dieses Verfahren eignet sich bei linearen Zusammenhängen dazu, eine Variable aus der anderen abzuleiten:

Die Slides als PDF

Wir sehen also, dass durch Regression die zu erklärende Variable kausal (= mithilfe einer Formel - der sgn. Regressionsgleichung) aus der erklärenden Variable abgeleitet wird. Diese Regressionsgleichungen werden gerne zur Visualisierung der Regressionsgeraden in Scatterplots genutzt:

ggplot(covidCases, aes(x = Anzahl_100k, y = AnzahlTot_100k)) +
  geom_point(size = 3, shape=21, fill = "red") +
  geom_smooth(method = "lm", formula= y~x, se = FALSE,
              size = 1.25, color = "black") +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".", 
                                                  decimal.mark = ",")) +
  ggrepel::geom_text_repel(aes(label = Bezirk),
              size = 3,
              color = "gray",
              box.padding = 1) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 45, hjust = 1)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       color = "Bundesland")

Ein Nachteil der Visualisierung mittels des ggplot2-Packages, ist die nicht vorhandene Option Informationen zur gewählten Regressionsgleichung (wie R² etc.) in das Diagramm einzufügen. Diese Lücke versucht das bereits erwähnte ggpubr-Package zu füllen:

ggscatter(covidCases, x = "Anzahl_100k", y = "AnzahlTot_100k",
          shape=21, size = 3, fill = "red", color = "black",
          add = "reg.line", add.params = list(color = "blue")) +
  stat_cor(aes(label = paste(..rr.label..,
                             ..p.label..,
                             sep = "~`,`~")),
           color = "blue",
           label.x = 9000,
           label.y = 245) +
  stat_regline_equation(color = "blue",
                        label.x = 9000,
                        label.y = 220) +
  ggrepel::geom_text_repel(aes(label = Bezirk),
            size = 3,
            color = "gray",
            box.padding = 1) +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".", 
                                                  decimal.mark = ",")) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 45, hjust = 1)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene\n",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at")

👉 Die Daumenregel zur Interpretation solcher Regressionsgeraden:
Je flacher die Regressionsgerade durch die Punktwolke verläuft umso geringer ist der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen. Je disperser die Punktwolke um die Regressionsgerade verteilt ist, umso geringer ist die Validität (= Varianzaufklärung R²) der Regression.

Auch im Fall der Regression kann eine bundeslandspezifische Lösung angefordert werden:

ggscatter(covidCases, x = "Anzahl_100k", y = "AnzahlTot_100k",
          color = "bula",
          alpha = 0.3,
          size = 2.5,
          add = "reg.line",
          cor.coeff.args = list(method = "pearson",
                                label.sep = "\n")) +
  stat_cor(aes(label = paste(..rr.label..,
                             ..p.label..,
                             sep = "~`,`~"),
               color = bula),
           size = 3,
           label.x = 1500) +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".",
                                                  decimal.mark = ",")) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 14),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 45, hjust = 1)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene\n",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       color = "Bundesland")

Unabhängig von der schlechten Unterscheidbarkeit der Farbkodierungen zeigt uns diese Abbildung, dass in den Bundesländern durchwegs unterschiedlich starke Zusammenhänge (= Neigungen der Regressionsgeraden) zwischen COVID-19 Erkrankungen und Todesfällen anzutreffen sind. Wäre dies nicht der Fall, würde die Regressionsgeraden der Bundesländer deckungsgleich übereinanderliegen.

Die gleiche inhaltliche Aussage etwas übersichtlicher aufbereitet erhalten wir hiermit:

ggscatter(covidCases, x = "Anzahl_100k", y = "AnzahlTot_100k",
  color = "bula", palette = "jco",
  alpha = 0.3,
  size = 2.5,
  add = "reg.line") +
  scale_x_continuous(labels = scales::label_comma(big.mark = ".",
                                                  decimal.mark = ",")) +
  facet_wrap(~bula) +
  stat_cor(aes(label = paste(..rr.label..,
                             ..p.label..,
                             sep = "~`,`~"),
               color = bula),
           p.accuracy = 0.01,
           size = 3,
           hjust = 1,
           label.x = 12500,
           label.y = 20) +
  theme_bw() +
  theme(text = element_text(size = 12),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 90, vjust = 0.5)) +
  labs(title = "Zusammenhang COVID-19 Fälle & Verstorbene",
       x = "\nCOVID-19 Fälle je 100.000 EW",
       y = "an/mit COVID-19\nVerstorbene je 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at",
       fill = "Bundesland")

10.6 Konklusio

Nach all dieser Rechnerei - was können wir nun über den Zusammenhang zwischen der Anzahl an COVID-19 Erkrankungen und Todesfällen je 100.000 Einwohner auf Ebener der Bezirke Österreichs sagen?

Für vier Bundesländer konnten wir zum Stichtag 25.05.2021 einen signifikanten Zusammenhang feststellen:

r_values %>%
  inner_join(p_values, by = c("bula")) %>%
  filter(p <= 0.05) %>%
  arrange(-r) %>%
  knitr::kable(digits = 2)

bula	r	p
Salzburg	0.89	0.03
Burgenland	0.88	0.00
Oberösterreich	0.58	0.01
Niederösterreich	0.56	0.00

Während wir in Salzburg und dem Burgenland einen starken Zusammenhang nachweisen konnten, fällt dieser in Nieder- und Oberösterreich moderater aus. Für die restlichen Bundesländer konnten keine signifikanten Zusammenhänge festgestellt werden.

Inhaltlich sind diese Erkenntnisse durchwegs bemerkenswert: So sehen wir beispielsweise im West-Ost Vergleich Vorarlberg vs. Burgenland, dass wir zeitgleich signifikante Koppelungen (Fall Burgenland) und Entkoppelungen von Infektionsgeschehen und Mortalität (Fall Vorarlberg) beobachten können.

Warum dem so ist, können uns die hier angewandten Methode nicht beantworten. Drei von vielen denkbaren Thesen für die Erklärung der festgestellten regionalen Unterschiede wären:

• Die Bevölkerung in den Bundesländern ist unterschiedlich vulnerabel gegenüber COVID-19.

• Die Hospitalisierung von Erkrankten erfolgt in den Bundesländern zu unterschiedlichen Phasen des Erkrankungsverlaufs.

• Die medizinische Versorgung in diesen Bundesländern ist unterschiedlich effektiv gegenüber COVID-19.

• …

Es gibt also noch viele Thesen zu überprüfen …

---

🏆 Nun wissen wir, …

• dass Zusammenhänge graphisch über Scatterplots (aka Streudiagramme) interpretiert werden können;
• dass unterschiedliche Aggregationsstufen (zB räumliche Bezugsebenen) bei einer solchen Interpretation helfen können;
• dass wir Zusammenhänge numerisch über Korrelationen messen und auf deren Signifikanz untersuchen können;
• dass Regressionsgeraden bei der graphischen Interpretation von Zusammenhängen hilfreich sein können;
• dass Regressionen uns auch die Möglichkeit zur Prognose der abhängigen Variable bieten.

Was uns jetzt noch fehlt, sind Gruppenunterschiede 🤓

References

Quatember, Andreas. 2007. Statistik ohne Angst vor Formeln . Ein Lehrbuch für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. 2. Aufl. München: Pearson Studium.