Everything hangs together: Lineare Regression

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# Everything hangs together: Lineare Regression
## 716408 | Sozialwiss. Methoden – How 2 do Things with Numbers
### KMH
### SS 22 (updated: 2022-06-07)

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# .emolarge[🤔]<br> Wozu Regression?

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# Exkurs: Unterschied Regression & Korrelation

* **Korrelation: ** Stärke eines monotonen Zusammenhangs
  + Korrelation kann von einem 3. (nicht berücksichtigten) Faktor ausgehen 🡒 Scheinkorrelation
    - BSP: Korrelation zwischen Geburtenrate und Storchenpopulation in einem Bezugsraum
  + Prognose i.e.S. nicht möglich
* **Regression: **Beschreibung einer Ursache-Wirkungs-Beziehung
	+ Formalisierung eines Zusammenhangs als (z.B. lineare) Gleichung  
	🡒 Wie genau wirkt ein Faktor auf einen anderen?
	+ Möglichkeit zur **Prognose**

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# Lineare Regression im Detail

* **Abhängige Variable **(„Regressand“): zu erklärende Variable
* **Unabhängige Variable **(„Regressor“): erklärende Variable(n)
* Ursache-Wirkungs-Beziehung als lineare Gleichung darstellen:  
`$$f_{x}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x$$`

.pull-left[

* Parameterschätzung über Methode der kleinsten Fehlerquadrate

.font80[

`$$\min_{\alpha_{0}, \alpha_{1}}\sum_{i=1}r_i^2$$`

`$$r_1=\alpha_0+\alpha_1x_1-y_1\\
...\\
r_n=\alpha_0+\alpha_1x_n-y_n\\$$`

]

.pull-right[

]

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# Lineare Regression im Detail

`$$f_{x}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x$$`

`$$\alpha_1=\frac{ {\sum_{i=1}^n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) } {\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^{2}}$$`

`$$\alpha_0=\overline{y}-\alpha_1\overline{x}$$`

.quelle[(Eigene Erstellung 2018, CC BY)]

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# @ Güte einer gefunden Regressionslösung

* **Bestimmtheitsmaß R²:**
	+ Durch Regression erklärte Varianz der abhängigen Variable
	+ Wertbereich: 0 bis 1 (= vollständige Varianzerklärung)
	
.pull-left[

`$${SS_{\text{res}}=\sum _{i}(y_{i}-f_{i})^{2}}$$`

`$${\displaystyle SS_{\text{tot}}=\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}$$`

`$${\displaystyle R^{2}=1-{SS_{\rm {res}} \over SS_{\rm {tot}}}}$$`

]

.pull-right[

<div class="container350"><img src="images/eh9-3_regression/eh9-3_regression_v1_S6_1.png" width="800" /></div>
.quelle[(Orzetto, Wikimedia, CC BY-SA)]

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