11 Gruppenunterschiede erforschen

📢 Zielsetzung dieser Einheit

In dieser Einheit wollen wir uns dem Erkunden von Gruppenunterschieden widmen. Dazu werden wir

die Frage behandeln, welche prinzipiellen Verfahren uns dazu zur Verfügung stehen;
anhand eines Beispiels Varianten der einfaktoriellen Varianzanalyse als Vertreter parametrischer Verfahren ausprobieren;
anhand eines Beispiels den Kurskal-Wallis-Test als Vertreter nicht parametrischer Verfahren kennenlernen.

11.1 Die Ausgangslage

Oftmals stellt sich bei Analysen die Frage, ob zwischen Gruppen Unterschiede bestehen. Beispielsweise, ob es einen Einkommensunterschied zwischen Männern und Frauen gibt. Deskriptive Zugänge wie der qualitative Vergleich von Lageparametern kann dazu eine gute Grundlagen bilden. Einen Test auf Signifikanz kann so aber nicht erbracht werden. Daher wurden eine Reihe unterschiedlicher Testverfahren zur Prüfung signifikanter Gruppenunterschiede entwickelt.

Aufbauend auf das aus der letzten Einheit 10 bekannten Beispiel zum COVID-19 Infektionsgeschehen in Österreich wollen wir in dieser Einheit folgender Frage nachgehen:

🤔 Sehen wir bei den an und mit COVID-19 Verstorbenen je 100.000 Einwohnern Unterschiede zwischen den Bundesländern?

Erneut nutzen wir die aus Einheit 9.1 bekannten Beispieldaten der Österreichischen Agentur für Gesundheit und Ernährungssicherheit AGE zu COVID-19 Fällen in den politischen Bezirken Österreich.

Ein praktischer Hinweis:
Um diese Einheit auch zu einem späteren Zeitpunkt nachvollziehen zu können, werden nicht die tagesaktuellen Daten der AGES genutzt. Stattdessen wurden diese Daten zum Stichtag 25.05.2021 bezogen und als CSV-Datensatz abgelegt. Diese Stichtagsdaten können hier als CSV-Datei heruntergeladen werden.

👉 Anmerkung: Wir gehen in dieser Einheit von folgender Verzeichnisstruktur aus:

**Projektfolder**
| skript_1.R
| ...
| skript_n.R    
+-- data
|     | datensatz_1.xyz
|     | ...
|     | datensatz_n.xyz
+-- output

11.2 Datenimport und -aufbereitung

Bevor wir uns der Erkundung möglicher Gruppenunterschiede widmen können, müssen wir zunächst

die Rohdaten importieren
eine Normierung der Daten vornehmen (Variablen “…_100k”)
und die Bundeslandzugehörigkeit der Bezirke (Variable “bula”) ermitteln.

Un damit kommen wir zu Folgendem:

library(tidyverse)
library(scales)

agesRohdaten <- read.csv2("data/agesRohdaten_25-05-21.csv", encoding = "UTF-8") %>%
  as_tibble()
covidCases <- agesRohdaten %>%
  mutate(Anzahl_100k = Anzahl/(AnzEinwohner/100000),
         AnzahlTot_100k = AnzahlTot/(AnzEinwohner/100000),
         Anzahl7Tage_100k = AnzahlFaelle7Tage/(AnzEinwohner/100000))
covidCases <- covidCases %>%
  mutate(bula = factor(floor(GKZ/100),
                       levels = c(1:9),
                       labels = c("Burgenland",
                                  "Kärnten",
                                  "Niederösterreich",
                                  "Oberösterreich",
                                  "Salzburg",
                                  "Steiermark",
                                  "Tirol",
                                  "Vorarlberg",
                                  "Wien")
                       )
         )

11.3 Vorbereitende Überlegungen

Der Frage, ob es zum Stichtag 25.05.2021 zwischen den Bundesländern signifikante Unterschiede bei der COVID-19 bedingten Mortalität gibt, wollen wir uns zunächst graphisch annähern. Dazu greifen wir auf die aus Einheit 9 bekannten Boxplots zurück:

ggplot(covidCases, aes(x = forcats::fct_reorder(bula, AnzahlTot_100k, median), y = AnzahlTot_100k)) +
  geom_boxplot(fill = "azure3") +
  geom_jitter(shape=16, position=position_jitter(0.1),
              color = "red", alpha = 0.2) +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        axis.text.x=element_text(angle = 45, hjust = 1)) +
  labs(title = "COVID-19 Todesfälle nach Bundesländern\n",
       x = "\nBundesländer",
       y = "COVID-19 Todesfälle\nje 100.000 EW\n",
       caption = "\nDaten: AGES, 2021 - covid19-dashboard@ages.at")

Ein Blick auf die Lage der Mediane verrät uns, dass wir die Frage nach Unterschieden bejahen können. Beispielsweise liegt der Median der Mortalität in der Steiermark mehr als doppelt so hoch, als in Vorarlberg. Ob sich die Mortalität in den Bundesländern Tirol, Burgenland, Nieder-, Oberösterreich, Salzburg und Wien signifikant voneinander unterscheiden, lässt sich jedoch nicht sagen. Oder etwas allgemeiner formuliert: Zwischen welchen Paarkombinationen signifikante Unterschiede vorliegen oder nicht, kann eben nur ein Verfahren zur Aufdeckung von Gruppenunterschieden leisten.

11.3.1 Ermitteln des passenden Verfahrens

Unsere bereits bekannte Übersicht zu möglichen Auswerteverfahren legt uns nahe, zunächst die Frage nach der Normalverteilung unserer metrischen Variable AnzahlTot_100k zu stellen:

Auswerteverfahren für unabhängige Stichproben (Quelle: Eigene Überarbeitung 2016 von [Hager, 2011](https://www.univie.ac.at/soziologie-statistik/lingu/master/Signifikanztests.pdf))

Abbildung 11.1: Auswerteverfahren für unabhängige Stichproben (Quelle: Eigene Überarbeitung 2016 von Hager, 2011)

Um herauszufinden, welches Verfahren für unseren Fall passt, überprüfen wir zunächst, ob die Mortalität in den Bundesländern normalverteilt ist. Dazu werfen wir zunächst einen Blick auf den Q-Q-Plot der Variable AnzahlTot_100k …

ggplot(covidCases, aes(sample = AnzahlTot_100k)) +
  stat_qq(color = "red") +
  stat_qq_line()

… und die Q-Q-Plots der bundeslandspezifischen Mortalitäten:

ggplot(covidCases, aes(sample = AnzahlTot_100k, color = bula)) +
  stat_qq() +
  stat_qq_line() +
  facet_wrap(~ bula)

In beiden Fällen sehen wir eine gute Überlagerung zwischen der empirischen und theoretischen Verteilung, was eine Normalverteilung der Mortalität nahelegt. Ergänzend prüfen wir auch mittels des Shapiro-Wilks-Tests, ob eine Normalverteilung vorliegt:

library(rstatix)

# Wien entfernen, da nur 1 Beobachtung in diesem Bundesland
covidCasesNoVie <- covidCases %>%
  filter(bula != "Wien")

covidCasesNoVie %>%
  # group_by(bula) %>%
  rstatix::shapiro_test(AnzahlTot_100k) %>%
  arrange(p)

## # A tibble: 1 x 3
##   variable       statistic      p
##   <chr>              <dbl>  <dbl>
## 1 AnzahlTot_100k     0.976 0.0804

Hier bestätigen die deutlich über der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% liegenden p-Values die Normalverteilung der Mortalität in den den Bundesländern.

😎 Damit wissen wir, dass eine einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) zum Ziel führt. Dabei müssen wir noch mit einem Levene-Test überprüfen, ob die Varianzen in den Bundesländern homogen verteilt sind:

covidCasesNoVie %>%
  rstatix::levene_test(AnzahlTot_100k ~ bula) %>%
  knitr::kable()

df1	df2	statistic	p
7	85	1.972799	0.068198

Der knapp über der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% liegende p-Value spricht für eine (knapp) noch gegebene Varianzhomogenität. Wir können damit auf das Standardmodell der einfaktoriellen Varianzanalyse zurückgreifen.

📚 Exkurs:
Hätten wir keine Varianzhomogenität festgestellt, müssten wir uns für eine robuste einfaktorielle Varianzanalyse nach Welch entscheiden. Was in diesem Fall zu beachten wäre, besprechen wir in Kapitel 11.4.1.

11.4 Gruppenunterschiede bei normalverteilten Variablen mittels Varianzanalyse untersuchen

Eine einfaktorielle Varianzanalyse stoßen wir mittels folgendem Befehl an:

covidCasesNoVie %>%
  rstatix::anova_test(AnzahlTot_100k ~ bula) %>%
  knitr::kable()

Effect	DFn	DFd	F	p	p<.05	ges
bula	7	85	7.064	1.2e-06	*	0.368

Der ermittelte p-Value deutlich unter der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% spricht für die 1-Hypothese signifikanter Unterschiede bei der Mortalität zwischen den Bundesländern.

Gut. Heißt das jetzt, dass wir gerade zwischen allen Bundesländern signifikante Unterschiede nachgewiesen haben?

Nein, denn unsere Interpretation des Boxplots legt uns die Vermutung nahe, dass wir beispielsweise zwischen Oberösterreich und Salzburg solche Unterschiede nicht vorhanden sind. Wir müssen also noch für alle Paarkombinationen überprüfen, ob die betreffenden beiden Mittelwerte signifikant voneinander abweichen oder nicht. Dieser Vergleich zweier Mittelwerte kann bei gegebener Varianzhomogenität mittels Tukeys HSD (Honest Significant Difference)-Test erfolgen. Da dieser Test der eigentlich ANOVA nachgeschaltet wird, wird hier auch gerne von sgn. Post-Hoc-Tests gesprochen. Warum nachgeschaltet: Ergibt die ANOVA keine signifikanten Unterschiede, muss man auch nicht auf Ebene der Paarkombinationen nach ihnen suchen 🤦.

covidCasesNoVie %>%
  rstatix::tukey_hsd(AnzahlTot_100k ~ bula) %>%
  select(group1, group2, estimate, p.adj, p.adj.signif) %>%
  arrange(p.adj)

## # A tibble: 28 x 5
##    group1           group2           estimate     p.adj p.adj.signif
##    <chr>            <chr>               <dbl>     <dbl> <chr>       
##  1 Niederösterreich Steiermark           74.2 0.0000132 ****        
##  2 Steiermark       Tirol               -89.1 0.0000377 ****        
##  3 Oberösterreich   Steiermark           65.5 0.000461  ***         
##  4 Steiermark       Vorarlberg         -100.  0.000711  ***         
##  5 Burgenland       Steiermark           72.5 0.0015    **          
##  6 Kärnten          Tirol               -60.3 0.028     *           
##  7 Kärnten          Niederösterreich    -45.5 0.0579    ns          
##  8 Kärnten          Vorarlberg          -71.4 0.0579    ns          
##  9 Salzburg         Steiermark           53.2 0.129     ns          
## 10 Burgenland       Kärnten              43.7 0.253     ns          
## # ... with 18 more rows

Das Package rstatix formatiert uns die signifikanten paarweisen Unterschiede in der Spalte “p.adj.signif” mit Sternen. Je mehr Sterne, umso geringer ist der ermittelte p-Value (vgl. Spalte “p.adj”). Wir sehen also, dass nur zwischen 6 Paarkombinationen signifikante Unterschiede in der Mortalität vorliegen. Über einen Abgleich dieser Paarkombinationen mit dem Boxplot zur Mortalität kann letztlich noch die Validität dieser Signifikanzen nachvollzogen werden. In Summe sehen wir, dass sich vor allem das Bundesland Steiermark (wie bereits aus dem Boxplot zu erahnen war) von den restlichen Bundesländern hinsichtlich der Mortalität unterscheidet.

11.4.1 Gruppenunterschiede bei Variablen mit Varianzheterogenität erkunden

Sehen wir beim Levene-Test, dass Varianzheterogenität vorliegt, greift man zur robusten einfaktoriellen Varianzanalyse nach Welch.

👉 OBACHT: Zu Übungszwecken wollen wir an dieser Stelle annehmen, dass in unserem Fall Varianzheterogenität vorliegt und wir uns daher für einen Welch-Test entscheiden:

covidCasesNoVie %>%
  welch_anova_test(AnzahlTot_100k ~ bula) %>%
  knitr::kable()

.y.	n	statistic	DFn	DFd	p	method
AnzahlTot_100k	93	16.96	7	28.65563	0	Welch ANOVA

Analog zur klassischen Varianzanalyse verrät uns auch hier der p-Value, ob wir die Nullhypothese (idente Gruppenmittelwerte) ablehnen oder nicht. Da der ermittelte p-Value liegt deutlich unter der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% liegt, lehnen wir diese ab. Wir kommen zum Schluss, dass bei mindestens einer der möglichen Bundesland-Paarkombinationen ein signifikanter Unterschied in der mittleren Mortalität gegeben ist.

Analog zu Tukeys HSD-Test ermöglicht bei Varianzheterogenität der Games-Howell-Test den paarweisen Test auf Mittelwertgleichheit:

covidCasesNoVie %>% 
  games_howell_test(AnzahlTot_100k ~ bula) %>%
  select(group1, group2, estimate, p.adj, p.adj.signif) %>%
  arrange(p.adj)

## # A tibble: 28 x 5
##    group1           group2           estimate     p.adj p.adj.signif
##    <chr>            <chr>               <dbl>     <dbl> <chr>       
##  1 Kärnten          Vorarlberg          -71.4 0.0000727 ****        
##  2 Steiermark       Vorarlberg         -100.  0.0000975 ****        
##  3 Niederösterreich Steiermark           74.2 0.002     **          
##  4 Steiermark       Tirol               -89.1 0.003     **          
##  5 Oberösterreich   Vorarlberg          -34.7 0.005     **          
##  6 Kärnten          Niederösterreich    -45.5 0.006     **          
##  7 Oberösterreich   Steiermark           65.5 0.007     **          
##  8 Kärnten          Tirol               -60.3 0.027     *           
##  9 Niederösterreich Vorarlberg          -26.0 0.037     *           
## 10 Kärnten          Oberösterreich      -36.7 0.042     *           
## # ... with 18 more rows

Paarkombinationen mit einem p-Value (Spalte “p.adj”) kleiner gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% weisen signifikant unterschiedliche Mittelwerte in der Mortalität auf. Das rstatix-Package markiert diese signifikanten p-Values in der Spalte “p.adj.signif” mit Sternen. Je mehr Sterne umso geringer der jeweilig ermittelte p-Value.

Konklusio:

Wir sehen also, dass die Varianzanalysen bei Homo- bzw. Heterogenität der Varianzen sich eigentlich nur durch die unterschiedlichen Aufrufe der jeweiligen Prozeduren unterscheiden. Die Interpretation der Ergebnisse unterscheidet sich nicht voneinander.

11.5 Gruppenunterschiede bei ordinalen oder nicht normalverteilten Variablen

Wie wir der Abbildung 11.1 bereits entnommen haben, gibt es auch für nicht normalverteilte bzw. ordinale Variablen Verfahren, um Gruppenunterschieden nachzugehen. Der Klassiker für solche Fälle ist der Kruskal-Wallis Test. Mit diesem Test kann für unabhängige Stichproben (aka “Gruppen”) hinsichtlich einer a) nicht-normalverteilten metrischen oder b) ordinalen Variable überprüft werden, ob diese einer gemeinsamen Grundgesamtheit entstammen.

🤔 Warum sollte uns das interessieren?
Der Statistik-Sprech “aus einer gemeinsamen Grundgesamtheit stammen” kann auch als “keine signifikanten Unterschiede zwischen den Gruppen” übersetzt werden.

Dazu wollen wir uns ein kurzes Beispiel anschauen:

11.5.1 Vorbereitendes

Wir wollen auf das bereits aus Einheit 7 bekannte Bevölkerungsbefragung des Presse- und Informationsamts der Deutschen Bundesregierung zum Thema “Corona-Krise” zurückgreifen.

Die Daten (inkl. Fragebogen etc.) dieser Befragung aus der Kalenderwoche 45/2020 wurden dem gesis-Repositorium des Leibniz-Instituts für Sozialwissenschaften entnommen und können 👉 hier als ZIP-Datei geladen werden.

Nach dem Download extrahieren wir diese Daten in den Ordner “Trendfragen_Corona_45-20” in unserem “data”-Verzeichnis:

    Projektfolder
    | skript_1.R
    | ...
    | skript_n.R
    +-- data
        +-- Trendfragen_Corona_45-20
            | GESIS-Suche- Trendfragen Corona (Woche 45-2020).url
            | ...
            | ZA7677_v1-0-0.csv

Um zu sehen, wie man mit einem Kruskal-Wallis-Test auch für ordinal skalierte Variablen Gruppenunterschiede erkunden kann, wollen wir uns folgende Frage konzentrieren:

🤔 Unterschieden sich politische Gruppen hinsichtlich ihrer Sorge, sich mit COVID-19 anzustecken?

Dazu wollen wir

die politischen Gruppen anhand der in Frage s7 erhobenen Bundestagswahlabsicht;
und die Sorge sich mit COVID-19 anzustecken über die Frage bcor1_1 (“Machen Sie sich derzeit sehr große, große, weniger große oder keine Sorgen, dass Sie sich selbst mit dem Virus anstecken könnten?”) operationalisieren.

Und damit können wir die Befragungsdaten laden und uns die beiden Variablen von Interesse (bcor1_1 und s7) etwas genauer ansehen:

Trendfragen <- read.csv2("data/Trendfragen_Corona_45-20/ZA7677_v1-0-0.csv", encoding = "UTF-8")
SelTrendfragen <- Trendfragen %>%
  select(s7, bcor1_1) %>%
  mutate(bcor1_1 = factor(bcor1_1, exclude = c("k.A.", "weiß nicht")),
         s7 = factor(s7, exclude = "-1")) %>%
  filter(!is.na(bcor1_1) & !is.na(s7))

Über die Option exclude haben wir gerade beim Überführen der beiden Variablen in Faktoren Records mit keinen Antworten (“k.A.” und “-1”) sowie Records mit keinen klaren inhaltlichen Zuordnungen (“weiß nicht”) als NAs kodiert und anschließend entfernt. Damit können wir einen ersten Blick auf die Wertverteilungen werfen:

table(SelTrendfragen$s7) %>%
  knitr::kable("simple", col.names = c("s7", "Freq"))

s7	Freq
AfD	51
CDU/CSU	444
FDP	46
Grüne/Bündnis 90	313
Linkspartei	76
nicht wahlberechtigt	18
Nichtwähler	53
Rest	187
Sonstige	48
SPD	211

table(SelTrendfragen$bcor1_1) %>%
  knitr::kable("simple", col.names = c("bcor1_1", "Freq"))

bcor1_1	Freq
große Sorgen	386
keine Sorgen	257
sehr große Sorgen	90
weniger große Sorgen	714

Bei der ordinalen Einschätzug der Sorge um eine Ansteckung (s7) sehen wir, dass die Levels noch ein wenig Ordnung vertragen könnten:

SelTrendfragen <- SelTrendfragen %>%
  mutate(bcor1_1 = forcats::fct_relevel(bcor1_1,
                                        c("sehr große Sorgen",
                                          "große Sorgen",
                                          "weniger große Sorgen",
                                          "keine Sorgen")
                                        )
         )

11.5.2 Eine erster Blick auf die politischen Gruppen und deren Sorge vor einer Ansteckung

Wie immer wollen wir zunächst einen graphischen Blick auf die politischen Gruppen und deren Sorgen vor einer Ansteckung werfen. Dazu hätten wir gerne ein Balkendiagramm, dass die politischen Gruppen nach deren Sorge vor eine Ansteckung sortiert:

# Kontingenztabelle ermitteln & als Dataframe ablegen
konttab <- table(SelTrendfragen$bcor1_1, SelTrendfragen$s7) %>%
  prop.table(., margin = 2) %>%   # 2 ... Spaltenprozent
  round(., 2) %>%
  as.data.frame()

vis.order <- konttab %>%
  filter(Var1 == "keine Sorgen") %>%
  arrange(Freq) %>%
  select(Var2)
vis.order.vector <- as.character(vis.order$Var2)

# Datensatz für Visualisierung vorbereiten
vis.data.1 <- SelTrendfragen
vis.data.1$s7 <- factor(SelTrendfragen$s7, levels = vis.order.vector)

ggplot(vis.data.1, aes(x = s7, fill = bcor1_1)) +
  geom_bar(position = "fill", color = "black", width = 0.7) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent) +
  coord_flip() +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
        plot.caption = element_text(hjust = 0.5),
        panel.grid.major.x = element_line(color = "gray")) +
  labs(title = "Sorge um Ansteckung nach Bundestagswahlabsicht\n",
       caption = "\n(Daten: Presse- und Informationsamt der Deutschen Bundesregierung, 2021)",
       x = "Bundestagswahlabsicht\n",
       y = "",
       fill = "Sorge um Ansteckung") +
  guides(fill = guide_legend(reverse = TRUE))

Wir sehen, dass vor allem die Anhänger der AfD geringe, Anhänger der CDU/CSU, SPD sowie der Grünen vergleichsweise größere Sorgen vor einer Ansteckung mit COVID-19 haben. Wie belastbar diese ersten groben Erkenntnisse zu den Gruppenunterschieden sind, kann uns nun der Kruskal-Wallis-Test verraten

11.5.3 Gruppenunterschieden mit dem Kruskal-Wallis-Test nachgehen

Wie alle Tests wird auch beim Kruskal-Wallis-Test ein p-Wert ermittelt, der uns hilft, sich für eine dieser beiden Hypothesen zu entscheiden:

H0: Zwischen den Gruppen bestehen keine signifikanten Unterschiede.
H1: Zwischen den Gruppen bestehen signifikante Unterschiede.

Über das bereits bekannte statix-Package können wir die Berechnung dieses p-Wertes anstoßen:

library(rstatix)
SelTrendfragen %>%
  kruskal_test(bcor1_1 ~ s7)

## # A tibble: 1 x 6
##   .y.         n statistic    df        p method        
## * <chr>   <int>     <dbl> <int>    <dbl> <chr>         
## 1 bcor1_1  1447      82.0     9 6.58e-14 Kruskal-Wallis

  # knitr::kable("simple")

Der klar unter unserer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% liegende p-Wert legt uns nahe, die Nullhypothese zu verwerfen. Somit gelangen wir zum Schluss, dass es zwischen den politischen Ausrichtungen signifikante Unterschiede in der Sorge vor einer Ansteckung geben muss.

🤔 Aber zwischen welchen politischen Ausrichtungen?

Diese Frage können wir mit einem Post-Hoc Test beantworten, bei dem alle Paarkombinationen auf signifikante Unterschiede hin untersucht werden. Im Fall des Kruskal-Wallis-Tests greifen wir zum sgn. Dunn-Test.

Über das rstatix-Package können wir diesen wie folgt aufrufen:

SelTrendfragen %>%
  dunn_test(bcor1_1 ~ s7, p.adjust.method = "holm") %>%
  select(group1, group2, p, p.adj, p.adj.signif) %>%
  filter(p.adj <= 0.1) %>%    # Blick auf die knapp nicht signifikanten Unterschiede
  arrange(group1) %>%         # Hervorheben der Unähnlichsten
  knitr::kable(digits = 3, "pipe")

group1	group2	p	p.adj	p.adj.signif
AfD	CDU/CSU	0.000	0.000	****
AfD	Grüne/Bündnis 90	0.000	0.000	****
AfD	Linkspartei	0.000	0.001	***
AfD	Rest	0.000	0.000	****
AfD	Sonstige	0.000	0.014	*
AfD	SPD	0.000	0.000	****
CDU/CSU	FDP	0.001	0.036	*
CDU/CSU	Nichtwähler	0.000	0.000	***
FDP	SPD	0.002	0.069	ns
Grüne/Bündnis 90	Nichtwähler	0.000	0.002	**
Nichtwähler	Rest	0.002	0.062	ns
Nichtwähler	SPD	0.000	0.001	**

Wie bereits aus der graphischen Interpretation vermutet, unterscheidet sich die Gruppe der AfD-Affinen klar von anderen politischen Gesinnungen: Hier sehen wir die geringste Sorge vor einer Ansteckung. Weiters sehen wir, dass sich Teile des Blocks CDU-SPD-Grüne klar von FDP-SympathisantiInnen und NichtwählerInnen unterscheiden. Während erstere die klar größte Sorgen vor einer Ansteckung haben, machen sich letztere deutlich geringe Sorgen darum.

🏆 Nun wissen wir, …

dass das Wissen über Eigenschaften der genutzten Variablen - wie beispielsweise deren Normalverteilung - zentral für Wahl der passenden Analyseverfahrens ist;
dass bei der Beurteilung der Normalverteilung einer Variable immer ein gewisser Interpretationsspielraum bleibt;
dass Tests auf Gruppenunterschiede stets mit Post-Hoc-Tests kombiniert werden, um auf paarweise Unterschiede schließen zu können;

Und damit wären wir auch am Ende dieses Kurses angekommen.

Congrats! 🚀🥳🎉