Everything hangs together: Zusammenhangsmaße

# Everything hangs together: Zusammenhangsmaße
## 716408 | Sozialwiss. Methoden – How 2 do Things with Numbers
### KMH
### SS 22 (updated: 2022-06-05)

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# .emolarge[🤔]<br> Everything hangs together?

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# Ein Überblick auf ausgewählte Maße

<div class="container"><img src="images/eh9-2_korrel/eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_S2_1.png" width="1153" /></div>
.quelle[(Eigene Überarbeitung 2016 von Hager, 2011)]

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# .emolarge[🤔]<br> Exkurs: Normalverteit?

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# Warum ist das wichtig?

**Zentraler Grenzwertsatz** der Statistik:

Verteilungen (= Messungen) die unter einer großen Anzahl unabhängiger Einflüsse (= Abweichungen) ermittelt werden:  
**👉 normalverteilt**

**BSP:** 500 Zufallszahlen

![](eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)

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# Überprüfen der Normalverteilung 1/3

**1. Visuell: **Histogramm & Normalverteilungskurve

```r
ggplot(beispieldaten, aes(x = var1, y = ..density..)) +
  geom_histogram(bins = 50, fill = "red") +
  geom_density()
```

![](eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png)

**Bei Normalverteilung:**

* symmetrische Verteilung um Mittelwert
* Dichtekurve = Glockenkurve

👉 hier nicht gegeben 🡒 **vermutlich keine Normalverteilung**
 ]
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# Überprüfen der Normalverteilung 2/3

**2. Visuell: **Q(uantil)-Q(uantil) Plots

```r
ggplot(beispieldaten, aes(sample = var1)) +
  geom_qq(color="red") +
  geom_qq_line()
```

![](eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png)

**Bei Normalverteilung:**

* beobachtete Werte liegen auf der Geraden (= ideale Normalverteilung)

👉 hier nicht gegeben 🡒 **vermutlich keine Normalverteilung**
]

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# Überprüfen der Normalverteilung 3/3

**3. Numerisch: ** [Der Shapiro-Wilk-Test](https://de.wikipedia.org/wiki/Shapiro-Wilk-Test)

```r
shapiro.test(beispieldaten$var1)
```

```
## 
## 	Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  beispieldaten$var1
## W = 0.62872, p-value < 2.2e-16
```

**Interpretation: **

-   **H0:** Normalverteilung ist gegeben

-   **H1:** Normalverteilung ist nicht gegeben

👉  p = 2.2e-16 < α (= 0,05)  
👉 H0 ablehnen 🡒 **keine Normalverteilung gegeben**

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# .emolarge[🤔]<br> Back 2 the story:<br>Metrische Zusammenhänge messen?

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# Zusammenhänge graphisch erschließen

* **Scatterplot (aka "Streudigramm"):**  
grafische Darstellung von Wertpaaren zweier metrischer Merkmale

<div class="container300"><img src="images/eh9-2_korrel/eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_S7_2.png" width="1065" /></div>
.quelle[(Eigene Überarbeitung 2018 von: Quatember 2007:667)]

👉 nach **Verteilungsmustern** Ausschau halten

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# Zusammenhänge numerisch messen

**Ermittlung der Korrelation r:**

* Berechnen der Kovarianz `$S_{xy}$`

<div class="container300"><img src="images/eh9-2_korrel/eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_S10_3.png" width="899" /></div>
.quelle[(Eigene Überarbeitung 2019 von: Quatember 2007:69)]

* Kovarianz ohne obere & untere Beschränkung  
**🡒 Normierung auf Wertbereich -1 bis +1** notwendig

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# Zusammenhänge numerisch messen

**Korrelationskoeffizient r** [-1; +1]

`$r=\frac{S_{xy}}{S_{x}* S_{y}}$`

`$S_{x}$` ... Standardabweichung Variable x  
`$S_{y}$` ... Standardabweichung Variable y

]

**👉 Interpretation:**

<div class="container250"><img src="images/eh9-2_korrel/eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_S11_4.png" width="1165" /></div>
.quelle[(Eigene Überarbeitung 2019 von: Quatember 2007:71)]

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# .emolarge[🤔]<br>... und wenn meine Variablen NICHT normalverteilt sind?

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# Spearmans ρ für (ordinale) Zusammenhänge

* **Pearsons Problem: **linearer Zusammenhang 🡒 Ausreißer

* **Umgang damit:**
	+ Prüfen der Normalverteilung der verwendeten Variablen
	+ Pearsons r & Spearmans ρ ermitteln  
	🡒 „deutliche“ Unterschiede = Ausreißer verzerren Pearsons r
	  * Ausreißer ausschließen

]

<div class="container400"><img src="images/eh9-2_korrel/eh9-2_zusammenhangsmasse_metrisch_v1_S12_5.png" width="473" /></div>
.quelle[(Matheguru, o.J.)]

]

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# Spearmans ρ für (ordinale) Zusammenhänge

* Misst **beliebige monotone Zusammenhänge:**
	+ Wertbereich: wie Pearsons r (-1 bis +1)
	+ Grundlage: Differenz in den Rängen eines Wertpaares
	+ Praktisch: Pearsons r auf Basis von Rängen
* **Problem: **Bindungen („Ties“)
	+ Daumenregel: unter 20% aller Wertpaare  
	🡒 Ränge über Mittelwerte
	
.pull-left[

`$$r_{s} = 1-\frac{6\sum_id_i^2}{n\cdot(n^2-1)}$$`

`$$d_i=rg_xi-rg_yi$$`
]

`$n$` … Anzahl der Wertpaare  
`$rg_{xi}$` bzw. `$rg_{yi}$` ... Rang des i-ten Ausprägung in Variable x bzw. y

]